확률의 공리적 정의

확률은 다음과 같은 공리로 정의될 수 있다.

\[\begin{align}1. & \quad 0 \le P(A) \le 1 \\ 2. & \quad P(S) = 1 \\ 3. & \quad P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right) = \sum_{i=1}^{m} P(A_i) \quad \forall_{i \neq j} ~A_i \cap A_j = \emptyset \end{align}\]

이러한 공리를 이용해 만들 수 있는 정리들에 대해 살펴보자.

다양한 정리들

1. $P(\emptyset) = 0$

다음과 같은 방식으로 증명할 수 있다.

\[P(S) = P(S \cup \emptyset) = P(S) + P(\emptyset) \because S \cap \emptyset = \emptyset \\ \Rightarrow P(\emptyset) = 0\]

이러한 방식으로 다음과 같은 정리들을 증명할 수 있다.

2. $ P(A^{C} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$

다음 식을 고려하자.

\[B = (A \cap B) \cup (A^{c} \cap B)\]

한편 $A \cap B$와 $A^c \cap B$는 서로소이므로, $P(B)$를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\[P(B) = P(A \cap B) + P(A^c \cap B) \\ \therefore P(A^c \cap B) = P(B) - P(A \cap B) \blacksquare\]

3. $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $

다음 식을 통해 증명할 수 있다.

\[A \cup B = A \cup (B \cap A^c)\]

여기서 $A$와 $B \cap A^c$가 서로소라는 점에 주목하자. 그러면 다음과 같은 식이 성립한다.

\[\begin{align} P(A \cup B) & = P(A \cup (B \cap A^c)) \\ & = P(A) + P(B \cap A^c) \\ & = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \quad \blacksquare \end{align}\]

예제

포함 배제 원리의 확장

위 식들을 이용해 다음 식을 일반화해보자.

\[P\left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right)\]

확률에서 성립하는 부등식의 증명

다음 부등식들을 증명해보자.

\[\begin{align} 1. & \quad 0 \le P(A) \le 1 \\ 2. & \quad P(A \cup B) \le P(A) + P(B) \\ 3. & \quad P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) \le \sum_{i=1}^n P(A_i) \\ 4. & \quad P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1 \\ 5. & \quad P\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_i\right) \geq \sum_{i=1}^n P(A_i) - (n - 1) \end{align}\]