확률이 무엇일까?

Introduction to Probability

확률론은 기본적으로 불확실성을 다루는 학문이다. 즉, 무작위성의 실험, 경험을 다루는 학문이라고 볼 수 있다. 따라서 실제로 실험을 하기 전까지 결과를 예측할 수 없는 사건들에 대해 다룬다. 예를 들어, 동전 던지기, 주사위 던지기 같은 실험 등이 존재한다.
우리는 이렇게 다음에 어떤 사건이 발생할지 모르지만, 어느 정도의 경향을 알아낼 수 있는 방법에 대해 고민했다. 그 결과, 다음과 같은 함수를 통해 확률을 정의하기로 했다.
\(P : \text{Event} \rightarrow [0, 1]\)

그런데, 이 함수를 정의하는 방법에는 여러 방법이 존재한다. 이 방법들 중 일부를 알아보자.

확률의 고전적 정의

사건 $A$가 있다고 하자. 고전적 정의에서는 확률을 표본 공간의 경우의 수와 어떤 사건의 경우의 수의 비율로 생각한다. 따라서 다음과 같이 확률을 표기한다.
\(P[A]=\frac{N_A}{N}\)

상대도수를 이용한 정의

상대도수란 어떤 실험을 진행한 횟수와 어떤 사건이 일어난 횟수의 비율로 정의한다. 여기서 실험을 무수히 많이 한다고 생각하자. 이 때의 상대도수를 확률로 정의하는 방법이 상대도수를 이용한 확률의 정의이다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.
\(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n_A}{n}\)

공리를 이용한 정의

공리를 이용한 정의는 소련의 수학자인 Andrey Komogorov가 제시한 공리들을 이용하여 확률을 정의하는 방법이다. 표본공간 $S$와 어떤 사건 $A$에 대하여, 다음의 공리를 통해 확률을 정의한다.
\(\begin{align}1. & \quad 0 \le P(A) \le 1 \\ 2. & \quad P(S) = 1 \\ 3. & \quad P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right) = \sum_{i=1}^{m} P(A_i) \quad \forall_{i \neq j} ~A_i \cap A_j = \emptyset \end{align}\) 첫 번째 식은 어떤 사건의 확률이든 0 이상 1 이하의 실수값을 갖는다라는 것을 의미한다. 두 번째 식은 표본공간인 S에 대한 사건이 일어나는 사건이 1이다. 즉, 무조건 밠애하는 사건의 확률을 1로 정의한 것이다. 세 번째 문장은 상호배타적인 사건, 즉 어떤 두 다른 사건을 골랐을 때 교집합이 모두 공집합인 사건들의 합집합에 대한 확률은 각각의 확률을 더한 값과 같다는 사실을 의미한다.
다음 포스트에서는 이 공리를 이용해 다양한 정리들을 증명해보자.